Turunan Fungsi Dua Variabel

TURUNAN FUNGSI DUA (2) VARIABEL

TURUNAN PARSIAL 

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

   1.  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.
   2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu.

DEFINISI
a. Turunan parsial terhadap variabel x
     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu        maka  z  merupakan fungsi x, Turunan        parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :

  

b. Turunan parsial terhadap variabel y

    Jika  y berubah-ubah  dan x  tertentu        maka z  merupakan fungsi y,  Turunan          parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. 
Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y).
Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
nggak
Contoh:
z = 2x + y
xy + xz – yz = 0

c. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah
            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y.
Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

• y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
• x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
• x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

           Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

     & 
   
       Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh :

d. Differensial Total dan Turunan Total
     Membentuk turunan parsial  dan, perubahan dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik
9( x,y).
jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz =  disetiap titik (x,y) dari D

Turunan Fungsi Satu Variabel

TURUNAN FUNGSI SATU VARIABEL

TURUNAN FUNGSI ( 1 VARIABEL )

              Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan ( diferensial ) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.
              Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.

Misal y ialah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x

persamaan y = 4x maka nilai dari turunan tersebut menurut definisi di atas adalah

RUMUS RUMUS TURUNAN FUNGSI 
MATEMATIKA

Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn xn-1

contoh :
y = 2x4maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3
kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar

y = 2√x = 2x1/2 turunannya adalah 1/2.2 x (1/2-1)= x -1/2= 1/√x

Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0

contoh :
jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)

contoh :
y = x3+ 2x2maka y’ = 3x2+ 4x
y = 2x5+ 6 maka y’ = 10x4+ 0 = 10x4

Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)

contoh :
y = x2(x2+2) maka
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
kita masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4x3+ 4x

Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

contoh :

Rumus 6 : jika kamu punya y = [f(x)]nmaka turunannya adalah n [f(x)]n-1. f'(x)

contoh :

Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya

contoh :

Rumus 8 : ef(x) maka,  dy/dx = ef(x).f'(x)

contoh :
y = e2x+1
f(x) = 2x+1
f'(x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2
             = 2e2x+1

Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin
Jika kamu punya y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x) . f'(x)

contoh :
y = sin(x2 + 1) maka
y’ = cos (x2+1) . 2x
     = 2x. cos (x2+1)

Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos
Jika kamu punya y = cos f(x) maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)

contoh :
y = cos (2x+1) maka turunannya
y’ = -sin (2x+1) . 2
     = -2 sin (2x+1)

RUMUS TURUNAN KE DUA 

rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama (sobat turunkan sebanyak dua kali). Turunan kedua sobat peroleh dengan menurunkan turunan pertama.

Contoh :
Turunan kedua dari x3+ 4x2
turunan pertama = 3x2+ 8x
turunan kedua = 6x + 8