Turunan Fungsi Dua Variabel

TURUNAN FUNGSI DUA (2) VARIABEL

TURUNAN PARSIAL 

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

   1.  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.
   2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu.

DEFINISI
a. Turunan parsial terhadap variabel x
     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu        maka  z  merupakan fungsi x, Turunan        parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :

  

b. Turunan parsial terhadap variabel y

    Jika  y berubah-ubah  dan x  tertentu        maka z  merupakan fungsi y,  Turunan          parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. 
Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y).
Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
nggak
Contoh:
z = 2x + y
xy + xz – yz = 0

c. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah
            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y.
Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

• y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
• x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
• x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

           Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

     & 
   
       Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh :

d. Differensial Total dan Turunan Total
     Membentuk turunan parsial  dan, perubahan dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik
9( x,y).
jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz =  disetiap titik (x,y) dari D