Matematika Aplikasi Turunan

APLIKASI TURUNAN (GARIS SINGGUNG DAN OPTIMASI)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁, y₁) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x₁). Sementara itu x₁ dan y₁memiliki hubungan y₁ = f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y₁ = m (x – x₁).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

                    y - y₁ = m (x - x₁)

Sebagai contoh :

Persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dengan gradien m adalah :$$y-y_1=m(x-x_1)$$

Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1,4)$ dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)

y − 4 = 3x − 3

y = 3x + 1 

Sedangkan jika diketahui 2 tiik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = $-\frac{a}{b}$

Sebagai contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $-\frac{6}{-2}$ = 3

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :$$m=tan\alpha$$
Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : $m_A=m_B$
• Tegak lurus : $m_A\cdot m_B=-1$

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :

Contoh soal 1

Contoh soal 2