Elemen dan Himpunan, Bilangan

Elemen dan Himpunan

Bilangan 

A. Elemen (matematika)

Elemen atau anggota (bahasa Inggris: member) dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu.

B. Himpunan (matematika)

Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna. 

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
 

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Penulisan A = {1, 2, 3, 4} berarti bahwa elemen-elemen himpunan A adalah bilangan 1, 2, 3 dan 4. Himpunan elemen-elemen A, misalnya {1, 2}, merupakan subset  A.

Himpunan itu sendiri dapat merupakan elemen. Misalnya ada himpunan B = {1, 2, {3, 4}}. Elemen-elemen B bukan 1, 2, 3, dan 4. Melainkan, hanya ada tiga elemen B, yaitu bilangan 1 dan 2, dan himpunan {3, 4}.

Elemen-elemen suatu himpunan dapat berupa apa saja. Misalnya, C = { merah, hijau, biru }, adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya adalah warna-warna merah, hijau dan biru.

Contoh

Menggunakan himpunan-himpunan yang didefinisikan di atas, yaitu A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}} dan C = { red, green, blue }:

• 2 ∈ A
• {3,4} ∈ B
• {3,4} adalah anggota dari B
• Yellow ∉ C
• Kardinalitas D = { 2, 4,  8, 10, 12 } adalah finit dan sama dengan 5.
• Kardinalitas P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (bilangan prima) adalah infinit (ini dibuktikan oleh Euclid)

Macam-macam Himpunan 

A.  Himpunan Enumerasi

Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanyasuatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf  kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.

Contoh :

– Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}.

– Himpunan B mempunyai dua bilangan genap positif pertama: B={4,5}.

– Meskipun himpunan biasa digunakan untuk mengelompokkan objek yang mempunyai sifat mirip, tetapi dari definisi himpunan   diketahui  bahwa sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda.

– contoh: {hewan, a, Amir, 10, komputer} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu hewan, a, Amir, 10, komputer.

– R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }    C  = {a, {a}, {{a}} }

Contoh tersebut memperlihatkan bahwa suatu himpunan bisa terdapat anggota himpunan lain.

– K={ }

Contoh tersebut adalah himpunan kosong, karena K hanya berisi satu elemen yaitu { }.

Himpunan kosong dapat dilambangkan dengan Ø.

– Himpunan 100 buah bilangan asli pertama bisa dituli {1, 2, …, 100}

Untuk menuliskan himpunan yang tak berhingga, kita dapat menggunakan tanda ellipsis(∞).

– Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

     x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;

     x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

     misal, A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

     maka, 1 ∈ A dan b ∉ A

Simbol-simbol Baku

Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan,

antara lain:

P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}

N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…}

Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah  himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U.

Himpunan  U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {bil. Genap kurang dari 6} berarti U = {2, 4}

Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:

• Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan
• Tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga
• Bagian di kanan tanda ’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan
• Setiap tanda ’,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli

Daftar anggota: A={1,2,3,. . .}

Notasi pembentuk himpunan: A={x | x ∈ A }

Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

                  A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

B.   Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau |A|  , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan.

B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen B adalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI.

A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}.

Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞.

C.  Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi: Ø atau { }

Contoh: A = {x | x < x}, maka n(A) = 0

Perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}.

D.  Himpunan bagian (subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A ⊆ B

Contoh: A ⊆ B jika elemen A ada di B                                                                                                                                                                                           A={1,2,3}                                                                                                                                               B={1,2,3,4,5,7}                                                                                                                                         C={1,2,4,5}     

Jadi : * A ⊆ B                                                                                                                                                    * A bukan himpunan bagian C

E.   Himpunan yang Sama

– Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

– A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

– Notasi : A = B  ↔  A ⊆ B dan B ⊆ A   

– Contoh: A={a,b,c}, B={c,a,b}      Jadi, A=B

– tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. urutan elemen dalam himpunan tidak penting.         

     jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}

2. pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.            

      Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1}          {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}

3. untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:

– A = A, B = B, dan C=C

– Jika A = B,maka B

– Jika A = B, dan B = C maka A = C

F.  Himpunan Ekivalen

– Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

– Notasi: A ~ B  ↔ |A|=|B|

Contoh: A={a,b,c} dan B={2,4,6} maka A ~ B sebab |A|= |B|

G.  Himpunan Saling Lepas

– Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

– Notasi : A // B  

– Contoh: jika A={2,4,6,8} dan B={3,5,7} maka A // B sebab elemen himpunan A dan elemen himpunan B tidak ada yang sama.

H.    Himpunan Kuasa

• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2^A
• Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m.

Contoh:

– Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

– Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, & himpunan kuasa dari himpunan {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø, {Ø}}.

I. Operasi Pada Himpunan

1. Irisan ( ∩ )

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5}

2. Gabungan  ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah  himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11}

3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya

merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11}

4. Selisih

Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4}

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A)

Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka ,  A⊕B = { 3, 4, 5, 6 }

6. Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B.

Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka  C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

         Catatan:

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

2. Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong.

4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B x A = ∅

J. Sifat-sifat Operasi Himpunan

1. Hukum identitas: – A ∪ ∅ = A – A ∩ U  = A	2.Hukum null: – A ∩ ∅ = ∅ – A ∪ U = U
3. Hukum Komplemen: – A ∪ Ā = U – A ∩   Ā = ∅	4. hukum idempotent: – A ∪ A = A – A  ∩ A = A
5. Hukum Involusi: –  –(–A)= A	6. Hukum Penyerapan: – A ∪ (A ∩ B) = A – A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum Komutatif: – A ∪ B = B ∪ A – A ∩ B = B ∩ A	8. Hukum Asosiatif: – A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C – A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C – A ⊕ (B ⊕ C)=(A ⊕ B) ⊕ C
9. Hukum distributif : – A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩C)	10. Hukum DeMorgan : – A∩B = A∪ B – A∪B = A∩ B

1.12  Prinsip Inklusi-Eksklusi

• Berapa banyak anggota didalam gabungan dua buah himpunan A dan B? Penggabungan dua buah menghasilkan dua buah himpunan baru yang elemen-elemenya berasal dari himpunan A dan himpunan B.
• Himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen-elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah ⏐A ∩ B⏐. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua  kali, sekali pada ⏐A⏐ dan sekali pada ⏐B⏐,

·         meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam ⏐A∪ B⏐, karena itu, jumlah elemen hasil penghubungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya, atau ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐– ⏐A ∩ B⏐.

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi. Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup:  ⏐A ⊕ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐– 2⏐A ∩ B⏐

K. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁,A₂ …..dari A sedemikian

sehingga :

(a)    A₁  A₂  …. = A, dan

(b)   Himpunan bagian A_i saling lepas;yaitu A_i ∩ A_j = Ø untuk i ≠ j.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

L. Multiset

• Dari definisi himpunan, himpunan adalah kumpulan elemen yang berbeda. Namun pada beberapa situasi, adakalanya elemen himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya himpunan nama-nama mahasiswa di sebuah kelas. Nama-nama mahasiswa di dalam sebuah kelas mungkin ada yang sama, karena itu ada perulangan elemen yang sama di dalam himpunan tersebut. Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan-ganda  atau multiset. Contoh: {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {} adalah himpunan ganda.

• Multiplisitas dari suatu elemen pada multiset adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada multiset. Misalkan : Jika M = { 0, 1, 01, 1, 0, 001, 0001, 00001, 0, 0, 1}, maka multiplisitas elemen 0 adalah 4. Himpunan merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sbg kardinalitas himpunan padanannya, dgn mengasumsikan elemen2 di dalam multiset semua berbeda.

• Operasi Antar Dua Buah Multiset

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh:

             P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

             P Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d

2.  P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tsb pada himpunan P dan Q.

Misal:  Jika P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } maka P ∩ Q = { a, a, c }

Pembuktian Kalimat Himpunan

Kalimat himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Kalimat dapat berupa kesamaan himpunan, misalnya “A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)” adalah sebuah kesamaan himpunan, atau berupa kalimat implikasi seperti “jika A ∩ B = Ø  dan  A ⊆ (B ∪ C) maka selalu berlaku bahwa A ⊆ C”.

C. Bilangan (mattematika)

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan banyak yang menyamakan arti dengan angka atau nomor. sebenarnya angka merupakan sebuah simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan. Sedangkan nomor adalah suatu istilah yang digunakan untuk menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. seperti contohnya “nomor 10” maka akan merujuk ke bilangan dengan angka 10 dalam susunan bilangan bulat.

1.      Berikut ini ada bagan jenis jenis bilangan :

 1.   Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk , dimana a dan b bilangan real dan i adalah bilangan imajiner.

2.   Bilangan Real

Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional.

            3. Bilangan Imajiner

            Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat .

4.   Bilangan Rasional

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dimana “a” dan “b” bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan nol, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan komposit

5.   Bilangan Irasional

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti).
Contoh: Bilangan , , dan bilangan .

6.   Bilangan Bulat

Bilangan Bulat adalah semua bilangan bukan pecahan. Bilangan bulat terdiri dari bilangan nol, positif dan negatif.
Contoh : Bilangan positif 1,2,3,4,5,6,7,… ,bilangan negatif …,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 dan bilangan nol “0”

7.   Bilangan Pecahan

    Bilangan Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk  dengan “a” adalah bilangan pembilang dan “b” adalah bilangan penyebut. Dengan “b” tidak boleh sama dengan nol.
Contoh : Bilangan, ,,,, dll

8.Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah bilangan bulat yang dimulai dari nol.yang termasuk bilangan ini adalah : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

9.Bilangan Asli

Bilangan Asli adalah bilangan bulat yang dimulai dari satu.
yang termasuk bilangan ini adalah : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

10.           Bilangan Genap

Bilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.
Contoh : Bilangan 2, 4, 6, 8, 10, 14, 20,… dll.

11.           Bilangan Ganjil

Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.
Contoh : Bilangan 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21, 31,… dll.

12.           Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah bilangan bulat lebih dari satu yang hanya bisa terbagi habis oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh : Bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… dll.

13.           Bilangan Komposit

Bilangan Komposit adalah bilangan asli lebih dari satu yang bukan merupakan bilangan prima.
Contoh : Bilangan 4, 6, 8, 9, 10, 12,… dll

sumber referensi:

–          informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/‎

–          matematikadiskri.blogspot.com/2012/11/teori-himpunan.html