Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Aritmetika

Definisi Barisan : 

Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan. 

Contoh : 

1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst 

2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret : 

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U_3,…..Un maka U₁ + U₂ + U₃ +… +Un adalah deret.

Contoh : 

1 + 2 + 3 + 4 +… + Un 

2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

A. Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :

Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.

Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b

Dengan 

a = U₁= Suku pertama         

b = beda 

n = banyaknya suku 

U_n = Suku ke-n

Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U₅ = 11).

Definisi Deret aritmatika : 

adalah jumlah dari baris aritmatika. 

Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11 

  

Ut = Suku tengah 

Sn = Jumlah n suku pertama  

Berikut adalah cara untuk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas : 

Beda  

b = U_n – U_n-1 

Suku ke-n 

Un = a + (n-1)b 

Un = S_n – S_n-1 

Jumlah n suku pertama  

S_n = ½ n (U₁ + U_n) 

S_n = ½ n ( 2a + (n-1)b ) 

Nilai tengah  

U_t = ½ (U₁ + U_n)

B. Baris dan Deret Geometri

Definisi barisan geometri :

 Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Contoh :

2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3U_n-1.

Definisi deret geometri :

 

Jika U₁,U₂,U_3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U₁ + U₂ + U₃ +… +Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah : 

Sn = a( 1- rⁿ ) / 1 – r , jika r < 1 dan 

Sn = a( rⁿ - 1) / r – 1 , jika r > 1

  

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika. 

Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11

   

Ut = Suku tengah 

Sn = Jumlah n suku pertama  

Deret Bilangan

Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya? 

Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

• 2, 5, 8, 11, 14, 17, …, Un

Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi

• 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + Un

Bentuk seperti ini disebut deret bilangan.

 

Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan.

Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

Pengertian Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut.

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, … , Un

Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut.

• 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + … + Un

Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. 

Contoh Soal Deret Aritmatika I

Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut.


Jawab:

• Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …, Un
• Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + … + Un  

Rumus Deret Aritmatika

 
Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya.

Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya.

Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka;

 

Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.

Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.

Agar kamu lebih memahami deret aritmetika, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika II

 

Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + … + U10. Tentukan:
a. suku kesepuluh (U10) deret tersebut,
b. jumlah sepuluh suku pertama (S10).

Sifat-sifat Deret Aritmatika

Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika III

1. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku deret geometri.
2. Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan:
a. beda deret aritmatika tersebut,
b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut.

 

sumber : 

http://caritahumatematika.blogspot.com/2013/04/pengertian-baris-dan-deret.html